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逆透视变换 (IPM, Inverse Perspective Mapping)

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1 概念

根据透视原理,地面上的两条平行线会相较于一点,而逆透视变换就是去除透视效应,使得平行线仍然是平行线。

2 公式

通常逆透视变换由如下公式表示:
\frac{1}{\lambda}\left[\begin{array}{c} x^{v} \\ y^{v} \\ 1 \end{array}\right]=\left[\mathbf{R}_{c} \mathbf{t}_{c}\right]_{\operatorname{col}: 1,2,4}^{-1} \pi_{c}^{-1}\left(\left[\begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array}\right]\right)\tag{1}
其中:

  • \pi_{c}(\cdot) 代表相机的投影和畸变方程,\pi_{c}^{-1}(\cdot) 代表反投影方程。
  • \mathbf{R}_{c}\mathbf{t}_{c} 代表相机外参。
  • \left[\begin{array}{ll} u & v \end{array}\right] 是图像坐标系中的像素坐标。
  • \left[\begin{array}{ll} x^{v} & y^{v} \end{array}\right]) 是车本体中心坐标系,也就是要得到的 IPM 图上的坐标。
  • \lambda 是一个标量,通常为相机光心到图像平面的距离。

说明:上面的公式 (1) 中之所以是 \left[\mathbf{R}_{c} \mathbf{t}_{c}\right]_{\operatorname{col}: 1,2,4}^{-1} 主要是利用了平面假设将原本:
\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} f_{x} & 0 & c_{x} \\ 0 & f_{y} & c_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_{1} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_{2} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} X \\ Y \\ Z \\ 1 \end{array}\right]\tag{2}

假设路面为平面且 Z=0,则有:
s\left[\begin{array}{l} x \\ y \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} f_{x} & 0 & c_{x} \\ 0 & f_{y} & c_{y} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{llll} r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_{1} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_{2} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_{3} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} X \\ Y \\ 0 \\ 1 \end{array}\right]\tag{3}

也就可以化简成:
\left[\begin{array}{c} x \\ y \\ s \end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll} H_{11} & H_{12} & H_{13} \\ H_{21} & H_{22} & H_{23} \\ H_{31} & H_{32} & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} X \\ Y \\ 1 \end{array}\right]\tag{4}

其中:

  • s^{\prime}=X \cdot H_{31}+Y \cdot H_{32}+1
  • x=\frac{x^{\prime}}{s^{\prime}}
  • y=\frac{y^{\prime}}{s^{\prime}}

参考文献

[1] https://blog.csdn.net/feiyang_luo/article/details/103555036
[2] https://blog.csdn.net/djfjkj52/article/details/104791610
[3] https://blog.csdn.net/qq_39380230/article/details/106268459
[4] RoadMap: A Light-Weight Semantic Map for Visual Localization towards Autonomous Driving

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