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笛卡尔积 | Cartesian Product
笛卡尔积是集合论中的一个基本概念，表示两个集合间所有可能的组合。本文通过简单的例子，介绍笛卡尔积的概念及其应用。
1. 笛卡尔积的定义
给定两个集合 A 和 B，它们的笛卡尔积（Cartesian Product）记作 A \times B，表示由所有可能的有序对 (a,b) 构成的集合，其中 a \in A，b \in B。
数学表达式如下：
\begin{equation}A \times B = \{(a,b) | a \in A \text{ and } b \in B\}\end{equation}2. 直观例子
让我们通过一个简单的例子来理解笛卡尔积：
假设有两个集合：
– 集合 A = \{1, 2\}
– 集合 B = \{x, y\}
则它们的笛卡尔积为：
\begin{equation}A \times B = \{(1,x), (1,y), (2,x), (2,y)\}\end{equation}3. 笛卡尔积的应用
笛卡尔积在数学和计算机科学中有广泛的应用：
- 坐标系统：二维平面坐标系实际上就是实数集 \mathbb{R} 与自身的笛卡尔积 \mathbb{R} \times \mathbb{R}
- 概率论：在计算多个事件的联合概率时，样本空间就是各个事件样本空间的笛卡尔积
5. 注意事项
在使用笛卡尔积时，需要注意以下几点：
- 笛卡尔积中的元素对是有序的，即 (a,b) \neq (b,a)（除非 a=b）
- 如果集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，则 A \times B 有 m \times n 个元素
- 笛卡尔积运算一般不满足交换律，即 A \times B \neq B \times A