伴随 | Adjoints

1 SE(3) 元素的伴随

设 4 \times 4 的矩阵 T 为 SE(3) 上的变换矩阵：
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R} & \mathbf{t} \\\mathbf{0}^{T} & 1\end{array}\right]\tag{1.1}
则有 6 \times 6 的变换矩阵 \mathbf{\mathcal{T}} 可以直接由上述矩阵 4 \times 4 的矩阵 T 构造而成，将其称为 SE(3) 的伴随：
\mathbf{\mathcal{T}}=\mathrm{Ad}(\mathbf{T})=\operatorname{Ad}\left(\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R} & \mathbf{t} \\\mathbf{0}^{T} & 1\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}\mathbf{R} & \mathbf{t}^{\wedge} \mathbf{R} \\0 & \mathbf{R}\end{array}\right]\tag{1.2}
记所有的集合为：
\operatorname{Ad}(S E(3))=\{\mathcal{T}=\operatorname{Ad}(\mathbf{T}) | \mathbf{T} \in S E(3)\}\tag{1.3}
可以证明 \operatorname{Ad}(S E(3)) 依然是一个矩阵李群。

2 \mathfrak{se}(3) 元素的伴随

定义 4 \times 4 的矩阵 \boldsymbol{\Xi} 为 \mathfrak{se}(3) 上的矩阵：
\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\xi}^{\wedge}=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{\rho} \\\boldsymbol{\phi}\end{array}\right]^{\wedge}=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \boldsymbol{\rho} \\\mathbf{0}^{T} & 0\end{array}\right] \in \mathfrak{se}(3)\tag{2.1}
则同样可以定义 \mathfrak{se}(3) 的伴随为：
\operatorname{ad}(\boldsymbol{\Xi})=\operatorname{ad}\left(\boldsymbol{\xi}^{\wedge}\right)=\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}\tag{2.2}
其中：
\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{\rho} \\\boldsymbol{\phi}\end{array}\right]^{\curlywedge}=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \boldsymbol{\rho}^{\wedge} \\\mathbf{0} & \boldsymbol{\phi}^{\wedge}\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{6 \times 6}, \quad \boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^{3}\tag{2.3}

3 指数&对数映射

指数映射
根据上述伴随的定义，可以证明有如下指数映射成立：
\mathcal{T}=\exp \left(\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}\right)^{n}\tag{3.1}
其中 \mathcal{T} \in \operatorname{Ad}(S E(3)) 且 \xi \in \mathbb{R}^{6} 即：\xi^{\curlywedge} \in \operatorname{ad}(\mathfrak{se}(3))

对数映射
对应地也有如下对数映射：
\boldsymbol{\xi}=\ln (\boldsymbol{\mathcal { T }})^{\curlyvee}\tag{3.2}

综合起来我们可以得到李群与李代数以及其伴随矩阵之前的映射关系：

以及以下交换律：
\underbrace{\operatorname{Ad}\left(\exp \left(\boldsymbol{\xi}^{\wedge}\right)\right)}_{\mathcal{T}}=\exp (\underbrace{\operatorname{ad}\left(\boldsymbol{\xi}^{\wedge}\right)}_{\xi^{\curlywedge}})\tag{3.3}

参考文献

《STATE ESTIMATION FOR ROBOTICS》