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概率测度 (Probability Measure)

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1 定义

概率测度是概率空间中定义在一个事件集合上的、满足测度性质(例如可列可加性)的实值函数。概率测度与一般意义上的测度(包括类似面积或体积等概念)的区别在于,概率测度之于整个概率空间的值必须等于1。

2 数学性质

给定一个全集 \Omega,以及其所有可测量的事件构成的集合 \mathcal{E}=\{E\subset \Omega|E\, \text{measurable}\}\mathcal{E} 代表测度的定义域。则概率测度是这样的一个函数 \mu: \mathcal{E}\rightarrow [0,+\infty],其满足如下性质:

  • \mu 的返回值必须在 [0, 1] 之间,且对于空集 \emptyset 其返回值为 \mu(\emptyset)=0;对于全集 \mathcal{E} 其返回值为 \mu(\mathcal{E})=0
  • 对于互斥的事件集合 ,概率测度函数满足可列可加性:
    \mu\left(\bigcup_{i \in I} E_{i}\right)=\sum_{i \in I} \mu\left(E_{i}\right)\tag{1}

3 条件概率

对于概率测度函数 \mu,以及两个可测事件 AB。其条件概率的定义为:
\mu(B \mid A)=\frac{\mu(A \cap B)}{\mu(A)}\tag{2}

参考文献

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87%E6%B5%8B%E5%BA%A6
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Probability_measure
[3] https://blog.pluskid.org/?p=765

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