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施密特正交化 | Schmidt Orthogonalization
1 定义
施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间（\mathbb{R}^n）任意线性无关的向量组 \mathbf{v}_1，\mathbf{v}_2，\cdots，\mathbf{v}_{m} 出发，求得正交向量组 \mathbf{u}_1，\mathbf{u}_2，\cdots，\mathbf{u}_{m}，使由 \mathbf{v}_1，\mathbf{v}_2，\cdots，\mathbf{v}_{m} 与向量组 \mathbf{u}_1，\mathbf{u}_2，\cdots，\mathbf{u}_{m} 等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。
2 算法
记 S=\left\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{m}\right\} 是某向量空间（\mathbb{R}^n）的基（其中 m \leq n）。由向量 \mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{m} 张成的子空间记为 \text{span}\left\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{m}\right\}。
那么可通过下列做法找到该向量空间中的 n 个两两正交的向量 S^{\prime}=\left\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\right\}。该方法称为施密特正交化（Gram–Schmidt process）。
具体方法就是以某一个基向量作为初始，将另一个向量依次向其投影，投影操作公式为：
\begin{equation}\operatorname{proj}_{\mathbf{u}}(\mathbf{v})=\frac{\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{u}, \mathbf{u}\rangle} \mathbf{u}\end{equation}
其中 \mathbf{u} \neq 0，如果 \mathbf{u} = 0 则记为：
\begin{equation}\operatorname {proj} _{\mathbf {0} }(\mathbf {v} ):=\mathbf {0}\end{equation}
根据上述方式，施密特正交化（Gram–Schmidt process）计算过程如下：
\begin{align}\mathbf{u}_1 & = \mathbf{v}_1, & \mathbf{e}_1 & = \frac{\mathbf{u}_1}{\|\mathbf{u}_1\|} \\\mathbf{u}_2 & = \mathbf{v}_2-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_2),& \mathbf{e}_2 & = \frac{\mathbf{u}_2}{\|\mathbf{u}_2\|} \\\mathbf{u}_3 & = \mathbf{v}_3-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_3) - \operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2} (\mathbf{v}_3),& \mathbf{e}_3 & = \frac{\mathbf{u}_3 }{\|\mathbf{u}_3\|} \\\mathbf{u}_4 & = \mathbf{v}_4-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_1} (\mathbf{v}_4)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_2} (\mathbf{v}_4)-\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_3} (\mathbf{v}_4),& \mathbf{e}_4 & = {\mathbf{u}_4 \over \|\mathbf{u}_4\|} \\& {}\ \ \vdots & & {}\ \ \vdots \\\mathbf{u}_{m} & = \mathbf{v}_{m} - \sum_{j=1}^{m-1}\operatorname{proj}_{\mathbf{u}_j} (\mathbf{v}_{m}),& \mathbf{e}_{m} & = \frac{\mathbf{u}_{m}}{\|\mathbf{u}_{m}\|}.\end{align}这样就得到了 \text{span}\left\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{m}\right\} 上的一组正交基 \left\{\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_m\right\}，以及相应的标准正交基 \left\{\mathbf{e}_1, \ldots, \mathbf{e}_m\right\}。
参考材料
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process
[2] https://www.matongxue.com/parts/4664/