拉普拉斯算子 | Laplace operator, Laplacian

1 定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为对函数 f 先作梯度运算（\nabla f）后，再作散度运算（\nabla \cdot \nabla f）的结果。因此如果 f 是二阶可微的实函数，则 f 的拉普拉斯算子定义为：
\begin{equation}\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f\end{equation}

f 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 x_{i} 中的所有非混合二阶偏导数：

2 坐标表达式

2.1 二维坐标

2.1.1 二维笛卡尔坐标系

二维笛卡尔坐标系下的表示法：
\begin{equation}\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\end{equation}

2.1.2 二维极坐标系

二维极坐标系下的表示法：
\begin{equation}\Delta f= {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right)+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}\end{equation}

2.2 三维坐标

2.2.1 三维笛卡尔坐标系

三维笛卡尔坐标系下的表示法：
\begin{equation}\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.\end{equation}

2.2.2 三维圆柱坐标系

三维圆柱坐标系下的表示法：
\begin{equation}\Delta f= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}\left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right)+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.\end{equation}

2.2.3 三维球坐标系

三维球坐标系下的表示法：
\begin{equation}\Delta f= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}\left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.\end{equation}

参考材料

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90