截断符号距离 | TSDF, Truncated Signed Distance Function

1 定义

TSDF（Truncated Signed Distance Function）是截断符号距离函数的缩写，各个体素的截断符号距离组成了 TSDF 场。理解 TSDF 首先要理解下符号距离 SDF。如下图所示：

假设相机光心到表面的距离为 \(d_s\)，到射线上体素 \(\vec x\) 距离为 \(d_v\)，则符号距离就是 \(SDF(x) = d_{\vec x}\)。
显然，当 \(d_{\vec x} \gt 0\) 时，表示体素在平面前方，当\(d_{\vec x} \lt 0\) 时，表示体素在平面后方。

体素的概率值是我们更新体素距离的方式。因为体素距离平面过远时，其数值对于平面影响过小因此通常都会采用 TSDF 设定一个阈值 \(\delta\) 来截断，类似下图：

用公式定义如下：
\(\begin{equation}
\operatorname{TSDF}(x) =
\begin{cases}
1 & \text{ if } x \gt \delta \\
\frac{\operatorname{SDF}(x)}{\left | \delta \right | } & \text{ if } -\delta \le x \le \delta \\
-1 & \text{ if } x \lt \delta
\end{cases}
\end{equation}\)

如果是在 2D 平面上，一个简单的 TSDF 场类似下面的样子：

2 融合

2.1 权重

有了上述 TSDF 的定义，想要对于多个不同帧的同一个体素观测进行更新，首先要定义体素的概率，考虑到一个显然的事实，对于一个深度传感器来说，测量数据的方差与角度有关：

则可以想到一种基本的权重定义如下：
\(\begin{equation}
w(p) = \frac{\operatorname{cos}(\theta)}{\operatorname{distance}(v)}
\end{equation}\)
其中 \(\operatorname{distance}(v)=d_v\)。

2.2 更新

对于同一个体素多次不同观测，我们采用如下方式更新：
1）初始化：
\(\begin{equation}
\left\{\begin{matrix}
T S D F_{0}(\mathbf{x})=0 \\
W_{0}(\mathbf{x})=0
\end{matrix}\right.
\end{equation} \)

2）更新 TSDF 和 W 值：
\(\begin{equation}
\begin{aligned}
T S D F_{i}(\mathbf{x}) &=\frac{W_{i-1}(\mathbf{x}) T S D F_{i-1}(\mathbf{x})+w_{i}(\mathbf{x}) t s d f_{i}(\mathbf{x})}{W_{i-1}(\mathbf{x})+w_{i}(\mathbf{x})} \\
W_{i}(\mathbf{x}) &=W_{i-1}(\mathbf{x})+w_{i}(\mathbf{x})
\end{aligned}
\end{equation}\)
其中小写 tsdf 和 w 表示更新之前的观测值（对于相机视野外的情况 w=0 对于是业内的情况 w=1），大写 TSDF 和 W 表示更新之后的值。反复执行上述操作即可将新的帧融合到之前的帧上。

参考文献

[1] https://wlsdzyzl.top/2019/01/25/3D-Reconstruction%E2%80%94%E2%80%94TSDF-volume-reconstruction/
[2] https://www.jianshu.com/p/462fe75753f7
[3] Truncated Signed Distance Function: Experiments on Voxel Size