特征值与特征向量 | Eigenvalue and Eigenvector

1 定义

设 A 是 n 阶方阵，如果存在常数及非零 n 向量 x，使得 Ax=\lambda x，则称是矩阵 A 的特征值，x 是 A 属于特征值的特征向量。

2 几何意义

矩阵的几何意义
一个矩阵代表的是一个线性变换规则，而一个矩阵的乘法运行代表的是一个变换。
例如矩阵：A=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right) 对列向量 x=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right) 进行线性变换就得到新的向量 y：
A x=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}y_{1} \\y_{2}\end{array}\right)=y\tag{1}
类似下图的演示：

特征向量的几何意义
一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量，它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已。
A x=\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2} \\a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}\lambda x_{1} \\\lambda x_{2}\end{array}\right)=y\tag{2}

类似下图的演示：

一个交互演示可以参见：https://www.geogebra.org/m/KuMAuEnd

3 求解

n 阶矩阵 A 的 n 个特征值，就是如下 特征方程 的 n 个跟 \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}。
|A-\lambda I|=0\tag{3}
而 A 属于特征值 \lambda_{i} 的特征向量就是如下线性方程的非零解：
(A-\lambda I) \mathbf{x}=\mathbf{0}\tag{4}

4 性质

根据定义可以很容易推导 A^{2} \mathbf{x}=A(A \mathbf{x})=A(\lambda \mathbf{x})=\lambda(A \mathbf{x})=\lambda^{2} \mathbf{x}，进而得出下列性质：

• k A x=k \lambda x
• A^{k} \mathbf{x}=\lambda^{k} \mathbf{x}
• A^{-1} \mathbf{x}=1 / \lambda \mathbf{x}。其中 \lambda \neq 0
• e^{A t} \mathbf{x}=e^{\lambda t} \mathbf{x}。利用泰勒展开：e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}=1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\frac{x^{4}}{4 !}+\cdots

如果矩阵 A 有 n 个互不相关的特征向量 ，则空间中任意向量可以用这 n 个特征向量作为基底表示为：
\mathbf{v}=c_{1} \mathbf{x}_{\mathbf{1}}+\cdots+c_{n} \mathbf{x}_{\mathbf{n}}\tag{5}

则有：
\begin{aligned}A^{k} \mathbf{v} &=A^{k} c_{1} \mathbf{x}_{1}+\cdots+A^{k} c_{n} \mathbf{x}_{\mathbf{n}} \\A&=c_{1} A^{k} \mathbf{x}_{1}+\cdots+c_{n} A^{k} \mathbf{x}_{\mathbf{n}} \\&=c_{1} \lambda_{1}^{k} \mathbf{x}_{1}+\cdots+c_{n} \lambda_{n}^{k} \mathbf{x}_{\mathbf{n}}\end{aligned}\tag{6}

5 矩阵的迹和行列式

矩阵的迹等于特征向量的和：
\operatorname{tr}(\mathbf{A})=\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}\tag{7}

矩阵的行列式等于特征向量的积：
\operatorname{det}(A)=\lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n}\tag{8}

参考文献

[1] https://blog.csdn.net/weixin_37721518/article/details/79016226
[2] https://www.cnblogs.com/long5683/p/13142126.html
[3] https://zhuanlan.zhihu.com/p/111099659
[4] https://zhuanlan.zhihu.com/p/95836870
[5] https://jingyan.baidu.com/article/27fa7326afb4c146f8271ff3.html
[6] https://blog.csdn.net/qq_32294855/article/details/90114833
[7] https://www.geogebra.org/m/KuMAuEnd