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SSIM | Structural Similarity
1 定义
SSIM（structural similarity）是一种用来衡量图片相似度的指标，也可用来判断图片压缩后的质量。
SSIM由亮度对比、对比度对比、结构对比三部分组成。
\left.\begin{matrix}\mu_{x}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \quad & \longrightarrow & l(x, y)=\frac{2 \mu_{x} \mu_{y}+C_{1}}{\mu_{x}^{2}+\mu_{y}^{2}+C_{1}}\\（灰度均值作为亮度测量） & & （亮度对比函数）\\\sigma_{x}=\left(\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\mu_{x}\right)^{2}\right)^{\frac{1}{2}} & \longrightarrow & c(x, y)=\frac{2 \sigma_{x} \sigma_{y}+C_{2}}{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{y}^{2}+C_{2}}\\（灰度标准差作为对比度测量） & & （亮度对比函数）\\\frac{x-\mu_{x}}{\sigma_{x}} \quad & \longrightarrow & s(x, y)=\frac{\sigma_{x y}+C_{3}}{\sigma_{x} \sigma_{y}+C_{3}}\\（结构测量） & & （结构对比函数）\end{matrix}\right\}\begin{matrix}\begin{aligned}&S(x, y)=f(l(x, y), c(x, y), s(x, y)) \\&=\frac{\left(2 \mu_{x} \mu_{y}+C_{1}\right)\left(2 \sigma_{x} \sigma_{y}+C_{2}\right)}{\left(\mu_{x}^{2}+\mu_{y}^{2}+C_{1}\right)\left(\sigma_{x}^{2} \sigma_{y}^{2}+C_{2}\right)}\end{aligned} \\（\text{SSIM} 函数）\end{matrix}其中，C_1、C_2、C_3 为常数，避免分母接近于0时造成的不稳定性。
2 性质
SSIM 函数 S 具有对称性、有界性（不超过1）和最大值唯一性（当且仅当 x＝y 时，S＝1，表示两幅图一样）。
上述 S 函数为 C_3=C_2/2 的简化形式。
参考文献
[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/93649342
[2] 《Image Quality Assessment: From Error Visibility to Structural Similarity》