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特征分解 (Eigen decomposition)

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1 定义

线性代数中,特征分解(Eigen decomposition),又称谱分解(Spectral decomposition)是将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

A 是一个 N \times N 的方阵,且有 N 个线性独立的特征向量 q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N)。这样, A 可以被分解为:
\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}\tag{1}
其中 QN \times N 方阵,且其第 i 列为 A 的特征向量 q_{i}\Lambda 是对角矩阵,其对角线上的元素为对应的特征值,也即 \Lambda _{ii}=\lambda _{i}

一般来说,特征向量 q_{i}\,\,(i=1,\dots ,N) 被单位化(但这不是必须的)。未被单位化的特征向量组 v_{i}\,\,(i=1,\dots ,N), 也可以作为 Q 的列向量。这一事实可以这样理解:Q 中向量的长度都被 Q^{−1} 抵消了。

2 推导

特征分解的推导使用特征值与特征向量 (Eigenvalue and Eigenvector)可以很容易获得。
给定矩阵 An 个线性无关的特征向量组成方阵 Q:\left[q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right]
则有:

\begin{aligned} A Q &=A\left[q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}\right] \\ &=\left[\lambda_{1} q_{1}, \lambda_{2} q_{2}, \dots, \lambda_{n} q_{n}\right] \\ &=\left[q_{1}, q_{2}, \dots, q_{n}\right] \Lambda \\ &=Q \Lambda \end{aligned}\tag{2}

其中 \Lambda 为特征值组成的对角矩阵,因为假设组成特征向量矩阵 Sn 个特征向量线性无关,所以 S 可逆,从上式中就可以推导出对角化以及特征值分解的公式:

Q^{-1} A Q=\Lambda\tag{3}

因此:

A=Q^{-1} \Lambda Q\tag{4}

3 应用

3.1 矩阵求逆

若矩阵 A 可被特征分解并特征值中不含零,则矩阵 A 为非奇异矩阵,且其逆矩阵可以由下式给出:

\mathbf {A} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } ^{-1}\mathbf {Q} ^{-1}\tag{5}
因为 Λ 为对角矩阵,其逆矩阵容易计算出:

\left[\Lambda ^{-1}\right]_{ii}={\frac {1}{\lambda _{i}}}\tag{6}

4 特殊矩阵特征分解

4.1 对称矩阵

任意的 N \times N 实对称矩阵的特征值都是实数且都有 N 个线性无关的特征向量。并且这些特征向量都可以正交单位化而得到一组正交且模为 1 的向量。故实对称矩阵 A 可被分解成

\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} \mathbf {\Lambda } \mathbf {Q} ^{T}\tag{7}

其中 Q 为 正交矩阵,\Lambda 为实对角矩阵。

4.2 正规矩阵

类似地,一个复正规矩阵具有一组正交特征向量基,故正规矩阵可以被分解成

\mathbf {A} =\mathbf {U} \mathbf {\Lambda } \mathbf {U} ^{H}\tag{8}
其中 U 为一个酉矩阵。进一步地,若 A 是埃尔米特矩阵,那么对角矩阵 \Lambda 的对角元全是实数。若 A 还是酉矩阵,则 \Lambda 的所有对角元在复平面的单位圆上取得。

参考文献

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E5%BE%81%E5%88%86%E8%A7%A3
[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/69540876

上一个 厄米特矩阵 (Hermitian Matrix)
下一个 特征值与特征向量 (Eigenvalue and Eigenvector)

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