梯度、散度、旋度 | Gradient, Divergence, Curl

0 Hamiltonian 算子 | Nabla symbol

向量算子是向量分析的工具，以三维空间为例，这里首先定义 Hamiltonian 算子：它表示某一物理量在三个坐标方向偏导数的和，公式如下：
\(
\begin{equation}
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k}
\end{equation}
\)
当然这一算子也可以推广到多维空间。

还是以三维空间为例，预设定义：
向量函数：\(\mathbf{F}=\left(F_1, F_2, F_3\right)\)；
纯量函数：\(f\)。

再结合几种矢量运算：
已知向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\)：
\(
\begin{equation}
\begin{aligned}
&\mathbf{a}=\left(a_1, a_2, a_3\right) \\
&\mathbf{b}=\left(b_1, b_2, b_3\right)
\end{aligned}
\end{equation}
\)
以及标量 \(s\)
向量与标量直积：
\(
\begin{equation}
\mathbf{a} s=a_1 \cdot s+a_2 \cdot s+a_3 \cdot s
\end{equation}
\)
向量内积（点乘）：
\(
\begin{equation}
\mathbf{a} \bullet \mathbf{b}=a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3
\end{equation}
\)
向量外积（叉乘、向量积）：
\(
\begin{equation}
\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{lll}
\mathrm{i} & \mathrm{j} & \mathrm{k} \\
x_1 & y_1 & z_1 \\
x_2 & y_2 & z_2
\end{array}\right|=\left(y_1 z_2-y_2 z_1\right) i-\left(x_1 z_2-x_2 z_1\right) j+\left(x_1 y_2-x_2 y_1\right) k
\end{equation}
\)
其中：\(i=(1,0,0) \quad \mathrm{j}=(0,1,0) \quad \mathrm{k}=(0,0,1)\)
即：\(a \times b=\left(y_1 z_2-y_2 z_1,-\left(x_1 z_2-x_2 z_1\right), x_1 y_2-x_2 y_1\right)\)
有了这些定义我们可以进而定义梯度、旋度和散度。

1 梯度 | Gradient

使用 \(\nabla\) 作用于标量函数 \(f(x, y, z)\) 即可得到 \(f\) 在空间中的梯度：
\(
\begin{equation}
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
\end{equation}
\)

梯度是一个向量场，如果想要得到沿着某一方向 \(\mathbf{e}_l\) （方向 \(l\)）的梯度，可以使用方向导数：
\(
\begin{equation}
\frac{d f}{d l}=\nabla f \cdot \mathbf{e}_l=\|\nabla f\| \cos \left(\nabla f, \mathbf{e}_l\right)
\end{equation}
\)

2 散度 | Divergence

矢量场的散度由 \(\nabla\) 和向量函数点乘得到，点乘的结果是一个标量：
\(
\begin{equation}
\operatorname{div} \mathbf{F}=\nabla \cdot \mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}
\end{equation}
\)
散度代表了空间中某一区域流入或流出的向量多少，类似下图所示：

拉普拉斯算子
梯度为矢量，对梯度可以继续求散度，这样就得到了拉普拉斯算子 \(\nabla^2\)：
\(
\begin{equation}
\nabla \cdot(\nabla f)=\nabla^2 f=\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\end{equation}
\)

3 旋度 | Curl

旋度是由 \(\nabla\) 与向量的叉乘得到，它的运算结果是一个向量，代表了向量做旋转运动的方向和强度：
\(
\begin{equation}
\operatorname{curl} \mathbf{F}=\nabla \times \mathbf{F}=\left|\begin{array}{ccc}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
F_1 & F_2 & F_3
\end{array}\right|
\end{equation}
\)

类似下图就是一个散度为0的有旋矢量场：

参考文献

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/136836187
[2] https://ccjou.wordpress.com/2013/06/27/%E6%A2%AF%E5%BA%A6%E3%80%81%E6%97%8B%E5%BA%A6%E8%88%87%E6%95%A3%E5%BA%A6/
[3] 1665576365-圖解梯度、散度與旋度