伴随 | Adjoints

1 SE(3) 元素的伴随

设 \(4 \times 4\) 的矩阵 T 为 SE(3) 上的变换矩阵：
\(
\mathbf{T}=\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{R} & \mathbf{t} \\
\mathbf{0}^{T} & 1
\end{array}\right]\tag{1.1}\)
则有 \(6 \times 6\) 的变换矩阵 \(\mathbf{\mathcal{T}}\) 可以直接由上述矩阵 \(4 \times 4\) 的矩阵 T 构造而成，将其称为 SE(3) 的伴随：
\(
\mathbf{\mathcal{T}}=\mathrm{Ad}(\mathbf{T})=\operatorname{Ad}\left(\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{R} & \mathbf{t} \\
\mathbf{0}^{T} & 1
\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{cc}
\mathbf{R} & \mathbf{t}^{\wedge} \mathbf{R} \\
0 & \mathbf{R}
\end{array}\right]\tag{1.2}\)
记所有的集合为：
\(\operatorname{Ad}(S E(3))=\{\mathcal{T}=\operatorname{Ad}(\mathbf{T}) | \mathbf{T} \in S E(3)\}\tag{1.3}\)
可以证明 \(\operatorname{Ad}(S E(3))\) 依然是一个矩阵李群。

2 \(\mathfrak{se}(3)\) 元素的伴随

定义 \(4 \times 4\) 的矩阵 \(\boldsymbol{\Xi}\) 为 \(\mathfrak{se}(3)\) 上的矩阵：
\(\boldsymbol{\Xi}=\boldsymbol{\xi}^{\wedge}=\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{\rho} \\
\boldsymbol{\phi}
\end{array}\right]^{\wedge}=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \boldsymbol{\rho} \\
\mathbf{0}^{T} & 0
\end{array}\right] \in \mathfrak{se}(3)\tag{2.1}\)
则同样可以定义 \(\mathfrak{se}(3)\) 的伴随为：
\(\operatorname{ad}(\boldsymbol{\Xi})=\operatorname{ad}\left(\boldsymbol{\xi}^{\wedge}\right)=\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}\tag{2.2}\)
其中：
\(\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}=\left[\begin{array}{l}
\boldsymbol{\rho} \\
\boldsymbol{\phi}
\end{array}\right]^{\curlywedge}=\left[\begin{array}{ll}
\boldsymbol{\phi}^{\wedge} & \boldsymbol{\rho}^{\wedge} \\
\mathbf{0} & \boldsymbol{\phi}^{\wedge}
\end{array}\right] \in \mathbb{R}^{6 \times 6}, \quad \boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{\phi} \in \mathbb{R}^{3}\tag{2.3}\)

3 指数&对数映射

指数映射
根据上述伴随的定义，可以证明有如下指数映射成立：
\(\mathcal{T}=\exp \left(\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n !}\left(\boldsymbol{\xi}^{\curlywedge}\right)^{n}\tag{3.1}\)
其中 \(\mathcal{T} \in \operatorname{Ad}(S E(3)) \) 且 \(\xi \in \mathbb{R}^{6}\) 即：\(\xi^{\curlywedge} \in \operatorname{ad}(\mathfrak{se}(3))\)

对数映射
对应地也有如下对数映射：
\(\boldsymbol{\xi}=\ln (\boldsymbol{\mathcal { T }})^{\curlyvee}\tag{3.2}\)

综合起来我们可以得到李群与李代数以及其伴随矩阵之前的映射关系：

以及以下交换律：
\(\underbrace{\operatorname{Ad}\left(\exp \left(\boldsymbol{\xi}^{\wedge}\right)\right)}_{\mathcal{T}}=\exp (\underbrace{\operatorname{ad}\left(\boldsymbol{\xi}^{\wedge}\right)}_{\xi^{\curlywedge}})\tag{3.3}\)

参考文献

《STATE ESTIMATION FOR ROBOTICS》