反对称矩阵 (Skew-symmetric Matrix)

1 定义

在线性代数中,反对称矩阵(或称斜对称矩阵)是一个方形矩阵,其转置矩阵和自身的加法逆元相等。其满足:
A^{\top} = −A\tag{1.1}
或写作 A = (a_{ij}),各元素的关系为:
a_{ij} = -a_{ji} \tag{1.2}
例如,下例为一个斜对称矩阵:
\left[\begin{array}{ccc}<br /> 0 & 2 & -1 \\<br /> -2 & 0 & -4 \\<br /> 1 & 4 & 0<br /> \end{array}\right]\tag{1.3}

2 反对称矩阵与叉乘

定义向量 \mathbf{a}=\left(a_{1} a_{2} a_{3}\right)^{\top} 和向量 \mathbf{b}=\left(b_{1} b_{2} b_{3}\right)^{\top}
则有运算:
<br /> [\mathbf{a}]_{\times}=\left[\begin{array}{rrr}<br /> 0 & -a_{3} & a_{2} \\<br /> a_{3} & 0 & -a_{1} \\<br /> -a_{2} & a_{1} & 0<br /> \end{array}\right]\tag{2.1}
在机器人中更常见的写法是用 ^ 运算符号:
<br /> \mathbf{a}^{\wedge}=\left[\begin{array}{rrr}<br /> 0 & -a_{3} & a_{2} \\<br /> a_{3} & 0 & -a_{1} \\<br /> -a_{2} & a_{1} & 0<br /> \end{array}\right]\tag{2.2}
则容易证明有如下公式成立:
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b}\tag{2.3}
以及交换律:
\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b} = - \mathbf{b}^{\wedge}\mathbf{a}\tag{2.4}
\mathbf{a}^{\top}\mathbf{b}^{\wedge} = - \mathbf{b}^{\top}\mathbf{a}^{\wedge}\tag{2.5}
同时有以下性质成立:
\left( \mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b} \right)^{\wedge} = \left( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right)^{\wedge} = \mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{b}^{\wedge} - \mathbf{b}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge}\tag{2.6}

3 反对称矩阵的行列式

反对称矩阵的行列式如下:
\operatorname{det}(A)=\operatorname{det}\left(A^{\top}\right)=\operatorname{det}(-A)=(-1)^{n} \operatorname{det}(A)\tag{3.1}

4 反对称矩阵的乘法

反对称矩阵连乘

反对称矩阵连乘有如下性质:
\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge} = -\mathbf{I} + \mathbf{a}\mathbf{a}^{\top}\tag{4.1}
和:
\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge}\mathbf{a}^{\wedge} = -\mathbf{a}^{\wedge}\tag{4.2}
更多的连乘用以上性质推算即可。

反对称矩阵与矩阵相乘

定义向量 \mathbf{u}=\left(u_{1}, a_{2}, u_{3}\right)^{\top} 与任意矩阵 C
则有如下公式成立:
(C\mathbf{u})^{\wedge} = C\mathbf{u}^{\wedge}C^{\top}\tag{4.3}

5 反对称矩阵的加法

定义向量 \mathbf{a}=\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)^{\top} 和向量 \mathbf{b}=\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)^{\top}
则有运算:
\mathbf{a}^{\wedge}+\mathbf{b}^{\wedge} = (\mathbf{a}+\mathbf{b})^{\wedge}\tag{5.1}

参考材料

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Skew-symmetric_matrix