拉普拉斯算子 | Laplace operator, Laplacian

1 定义

拉普拉斯算子是 n 维欧几里得空间中的一个二阶微分算子，其定义为对函数 \(f\) 先作梯度运算（\(\nabla f\)）后，再作散度运算（\(\nabla \cdot \nabla f\)）的结果。因此如果 \(f\) 是二阶可微的实函数，则 \(f\) 的拉普拉斯算子定义为：
\(\begin{equation}
\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f
\end{equation}\)

\(f\) 的拉普拉斯算子也是笛卡儿坐标系 \(x_{i}\) 中的所有非混合二阶偏导数：

\(\begin{equation}
\Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}
\end{equation}\)

2 坐标表达式

2.1 二维坐标

2.1.1 二维笛卡尔坐标系

二维笛卡尔坐标系下的表示法：
\(\begin{equation}
\Delta f = \frac{\partial^2f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}
\end{equation}\)

2.1.2 二维极坐标系

二维极坐标系下的表示法：
\(\begin{equation}
\Delta f
= {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
\end{equation}\)

2.2 三维坐标

2.2.1 三维笛卡尔坐标系

三维笛卡尔坐标系下的表示法：
\(\begin{equation}
\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
\end{equation}\)

2.2.2 三维圆柱坐标系

三维圆柱坐标系下的表示法：
\(\begin{equation}
\Delta f
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
\left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right)
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \theta^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }.
\end{equation}\)

2.2.3 三维球坐标系

三维球坐标系下的表示法：
\(\begin{equation}
\Delta f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right)
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
\left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right)
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}.
\end{equation}
\)

参考材料

[1] https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF%E7%AE%97%E5%AD%90