逆透视变换 | IPM, Inverse Perspective Mapping

1 概念

根据透视原理，地面上的两条平行线会相较于一点，而逆透视变换就是去除透视效应，使得平行线仍然是平行线。

2 公式

通常逆透视变换由如下公式表示：
\(\frac{1}{\lambda}\left[\begin{array}{c} x^{v} \\ y^{v} \\ 1 \end{array}\right]=\left[\mathbf{R}_{c} \mathbf{t}_{c}\right]_{\operatorname{col}: 1,2,4}^{-1} \pi_{c}^{-1}\left(\left[\begin{array}{l} u \\ v \\ 1 \end{array}\right]\right)\tag{1}\)
其中：

• \(\pi_{c}(\cdot)\) 代表相机的投影和畸变方程，\(\pi_{c}^{-1}(\cdot)\) 代表反投影方程。
• \(\mathbf{R}_{c}\) 和 \(\mathbf{t}_{c}\) 代表相机外参。
• \(\left[\begin{array}{ll}
  u & v
  \end{array}\right]\) 是图像坐标系中的像素坐标。
• \(\left[\begin{array}{ll}
  x^{v} & y^{v}
  \end{array}\right])\) 是车本体中心坐标系，也就是要得到的 IPM 图上的坐标。
• \(\lambda\) 是一个标量，通常为相机光心到图像平面的距离。

说明：上面的公式 (1) 中之所以是 \(\left[\mathbf{R}_{c} \mathbf{t}_{c}\right]_{\operatorname{col}: 1,2,4}^{-1}\) 主要是利用了平面假设将原本：
\(\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
f_{x} & 0 & c_{x} \\
0 & f_{y} & c_{y} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_{1} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_{2} \\
r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_{3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
X \\
Y \\
Z \\
1
\end{array}\right]\tag{2}\)

假设路面为平面且 \(Z=0\)，则有：
\(s\left[\begin{array}{l}
x \\
y \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
f_{x} & 0 & c_{x} \\
0 & f_{y} & c_{y} \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{llll}
r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_{1} \\
r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_{2} \\
r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_{3}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
X \\
Y \\
0 \\
1
\end{array}\right]\tag{3}\)

也就可以化简成：
\(\left[\begin{array}{c}
x \\
y \\
s
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}
H_{11} & H_{12} & H_{13} \\
H_{21} & H_{22} & H_{23} \\
H_{31} & H_{32} & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
X \\
Y \\
1
\end{array}\right]\tag{4}\)

其中：

• \(s^{\prime}=X \cdot H_{31}+Y \cdot H_{32}+1\)
• \(x=\frac{x^{\prime}}{s^{\prime}}\)
• \(y=\frac{y^{\prime}}{s^{\prime}}\)

参考文献

[1] https://blog.csdn.net/feiyang_luo/article/details/103555036
[2] https://blog.csdn.net/djfjkj52/article/details/104791610
[3] https://blog.csdn.net/qq_39380230/article/details/106268459
[4] RoadMap: A Light-Weight Semantic Map for Visual Localization towards Autonomous Driving